Matematyka dyskretna – czym jest i do czego służy?

Matematyka dyskretna jest zbiorczą nazwą dla wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur nieciągłych. Co to oznacza? Matematyka dyskretna bada zbiory przeliczalne, a więc nie powinno być zaskoczeniem, że jej podstawowymi dziedzinami są kombinatoryka i teoria grafów. Te słowa w wielu wywołują grozę. Nie ma co się dziwić – matematyka dyskretna jest uznawana za jeden z najtrudniejszych przedmiotów na studiach inżynierskich. Oto co warto wiedzieć na jej temat.

Czym jest matematyka dyskretna i do czego służy?

Dyskretna matematyka odpowiada obszarowi matematyki odpowiedzialnemu za badanie zbioru liczb naturalnych, tzn. zbiorów skończonych i nieskończonych liczb policzalnych, w których elementy mogą być liczone osobno lub jeden po drugim. Zestawy te określane są mianem dyskretnych. Przykładem są m.in. liczby całkowite, wykresy lub wyrażenia logiczne. W matematyce dyskretnej obliczenia stosuje się na podstawie liczb całkowitych. Oznacza to, że liczby dziesiętne nie są używane, a więc nie stosuje się np. przybliżeń. Dla przykładu: wynik może być równy 5 lub 6, ale nigdy 4,9.

Matematyka dyskretna dla większości osób jest czymś zupełnie obcym. W szkolne podstawowej czy średniej obcuje się jedynie z jej podstawami. Dopiero na studiach inżynieryjnych, np. przyszli programiści spotykają się z nią w pełnym wymiarze. Zmierzą się z nią przede wszystkim osoby z kierunków ścisłych, gdzie ważną rolę odgrywa statystyka oraz analizy algorytmów. 

W jakich dziedzinach nauki jest wykorzystywana matematyka dyskretna?

Matematyka dyskretna, choć niepowszechna w życiu przeciętnego człowieka, jest czymś, bez czego dzisiejszy świat nie istniałby w takiej formie, w jakiej obserwujemy go każdego dnia. Aby to potwierdzić, wystarczy zobaczyć listę dziedzin nauki, w których wykorzystywana jest ta dziedzina matematyki.

Matematyki dyskretnej nie brakuje:

• w kombinatoryce, gdzie pozwala na badanie skończonych zbiorów, w których elementy można uporządkować, policzyć lub połączyć;
• w badaniach, które oparte są na korzystaniu z metody rozkładu dyskretnego (czyli rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, który da się opisać przed podanie przyjmowanych przez nią wartości (wszystkich) razem z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich) poprzez badanie zdarzenia występującego w przestrzeniach, gdzie próbki mogą być policzalne i w których rozkłady ciągłe używane są do przybliżenia rozkładów dyskretnych;
• w kryptografii (czyli nauce o danych osobowych, która pozwala na przechowywanie informacji oraz ich przesyłanie w taki sposób, aby osoby postronne nie były w stanie ich odczytać (tekst jest zaszyfrowany)), gdzie umożliwia tworzenie bezpiecznych struktur bezpieczeństwa lub metod szyfrowania, np. haseł;
• w teorii informacji, odnoszącej się do kodowania informacji służących do projektowania, przechowywania i przesyłania informacji, np. sygnały analogowe;
• w informatyce, np. wcześniej wspomnianym programowaniu, gdzie dzięki dyskretnej matematyce rozwiązuje się problemy przy pomocy algorytmów oraz bada złożoność;
• w teorii wykresów, gdzie umożliwia rozwiązywanie problemów z pomocą węzłów i linii tworzących wykresy;
• w logice, gdzie stosuje się ją, by tworzyć zbiory, aby udowodnić dane twierdzenia;
• w geometrii, gdzie pozwala na zbadanie kombinatoryczne właściwości danych obiektów geometrycznych, np. powłokę płaszczyzny lub umożliwia opracowanie problemów geometrycznych przy pomocy algorytmów.

Dla osób, które mają problem ze zrozumieniem, jak działa matematyka dyskretna i potrzebują przykładu, przygotowaliśmy poglądowe zadania. Zanim do tego przejdziemy, warto podać jeszcze jeden przykład zastosowania matematyki dyskretnej, który powinien nieco rozjaśnić to zagadnienie. Teoretycy gier korzystają z matematyki dyskretnej, by zaprogramować, jak program ma podejmować właściwe decyzje, np. w grze kółko i krzyżyk. Przy pomocy algorytmu można sprawić, by robot nie przegrywał, jednak im bardziej skomplikowana gra, tym jest to trudniejsze (np. w przypadku szachów).

 

Przykładowe zadanie związane z matematyką dyskretną

Oto przykładowe zadania z zakresu matematyki dyskretnej.

1. Zadanie z matematyki dyskretnej – skarpetki

Jarek ma w szafie 20 skarpetek zielonych i 20 brązowych. Lewe skarpetki są nieodróżnialne od prawnych. Ponieważ Jarek jest daltonistą, nie jest to jego jedyny problem. Nie jest w stanie odróżnić także koloru.

Ile więc skarpetek musi zabrać ze sobą na wyjazd, by mieć pewność, że choć dwie będą tego samego koloru?

Ile skarpetek musi zabrać ze sobą na wyjazd, aby mieć pewność, że choć 10 będzie tego samego koloru?

Odpowiedź: Dwie skarpetki nie są wystarczające, ponieważ jedna może być zielona, a druga brązowa. Korzystając z zasady szufladkowej, wzięcie trzech skarpetek powinno dać pewność powtórzenia jednego z dwóch kolorów. Na podstawie uogólnionej zasady szufladkowej można wywnioskować, że wybierając  2×9+1 = 19 skarpetek jeden z kolorów musi być reprezentowany przez przynajmniej 10 skarpet. Jeśli Jarek zdecyduje się na mniejszą liczbę skarpet, gwarancji nie będzie.

2. Zadanie z matematyki dyskretnej – klocki

Mama Marcina bardzo śpieszy się do pracy, jednak przed nią musi zaprowadzić niesfornego syna do szkoły. Marcin ma jednak konkretny plan na swój dzień. Stoi przed nim 9 klocków w kolorze zielonym i 9 w kolorze brązowym. Ich kształty nie są możliwe do odróżnienia. Marcin zakomunikował już mamie, że spośród wszystkich możliwych wież o wysokości 10 klocków ułożył połowę. Będzie gotowy do wyjścia, gdy ułoży wszystkie. Ile wież mu zostało do ułożenia?

Zakładając, że n = 100, a więc wstępnie przyjmując, że Marcin dysponuje nieograniczaną liczbą klocków, można obliczyć, że wysokość n jest wyznaczona jednoznacznie poprzez funkcję przypisującą pozycji w wieży (czyli liczbie 1,…,n) jeden z dwóch kolorów. Takich funkcji jest 2^n. Wiemy jednak, że Marcin nie może zbudować dwóch wież: całej czarnej i całej białej. Ma więc 2^10-2 możliwości, z czego połowę już zrealizował. Co za tym idzie, zanim Marcin będzie gotowy do wyjścia, pozostaje mu 2^9-1 = 511 wież do ułożenia.

Skąd można czerpać informacje na temat matematyki dyskretnej?

Nie da się ukryć, że matematyka dyskretna nie należy do najłatwiejszych. Wręcz przeciwnie, dla wielu studentów, ale i zawodowców w swoich dziedzinach jest ona bardzo dużym wyzwaniem. Niestety, wielu studentów doświadczyło tego na własnej skórze i zrezygnowało z osiągnięcia wymarzonego dyplomu. Jak więc uczyć się matematyki dyskretnej, by nie wrócić „na tarczy”? Co zrobić, by zyskać wiedzę, niezależnie od tego, czy jest się studentem, czy pasjonatem, który chce rozwijać umiejętności na własną rękę? Rozwiązań jest kilka, ale wszystkie są równie skuteczne, jeśli dba się o regularną naukę. Oto one.

Regularne korepetycje ze specjalistą

Bardzo dobrym rozwiązaniem są korepetycje, najlepiej z osobą, która matematyką dyskretną zajmuje się zawodowo. To gwarancja nauki na praktycznych przykładach z osobą, która ma otwarty umysł i gotowa jest na różnego typu wyzwania. Co ważne, w internecie znajduje się wiele stron z ogłoszeniami korepetytorów, którzy jasno wskazują, które dziedziny są ich konikiem. Jeśli bierzesz pod uwagę korepetycje, nie bój się zadawać pytań osobom, które oferują swoje usługi!

Literatura z zadaniami!

Oprócz korepetycji warto dokształcać się na własną rękę. Świetnym przykładem przedmiotów, których nie może zabraknąć na Twoim regale, są książki o matematyce dyskretnej. Jest jedno „ale” – powinny zawierać praktyczne ćwiczenia. Warto rozumieć teorię, jednak najważniejsza jest praktyczna umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy. Szukając odpowiednich pozycji, warto zwrócić uwagę np. na wydawnictwo (jeśli jest naukowe to bardzo dobrze), opis (gdzie powinna znajdować się informacja, czy książka zawiera ćwiczenia), a także grupę docelową. Wiele tytułów książek z zakresu matematyki dyskretnej ma odpowiedni dopisek, np. „dla informatyków”. Dzięki temu masz pewność, że zakres jest przeznaczony właśnie dla Ciebie.

Darmowe filmiki w sieci dobrym źródłem wiedzy

Ilu ludzi, tyle rozwiązań. Nie wszyscy są w stanie uczyć się z książek, ponieważ wolą słuchać. Nie ma w tym nic złego, szczególnie że tego typu rozwiązań w sieci nie brakuje. Na platformie Youtube można znaleźć bardzo wiele praktycznych filmików m.in. z omawiania zadań! Nie brakuje też filmów o teorii matematyki dyskretnej. Niektóre z filmów są promocją kursów online (do których przejdziemy poniżej), co jest dużą zaletą dla oglądających, ponieważ mogą mieć pewność, że zagadnienie tłumaczą profesjonaliści z danej dziedziny. Wiele informacji znajdziesz także w artykułach online. To świetna wiedza na początek, jeśli nie wiesz, jak zabrać się do nauki.

Specjalistyczne kursy online z matematyki dyskretnej

Niektórzy nie przepadają za filmami i książkami, a korepetycje są dla nich czymś, z czego mogą wypisać się w każdym momencie. Dla tych, którzy potrzebują nieco dyscypliny, najlepszą opcją będzie zapisanie się na kurs, opłacenie go z góry i konsekwentne uczestniczenie w wymagających zajęciach. Kursy te zazwyczaj dzielą się na konkretne zagadnienia, dzięki czemu możesz uczyć się konkretnie tego, co leży w Twoich zainteresowaniach, np. relacji i funkcji, zbiorów czy grafów. Jeśli nie masz pewności co do tego, czy dany kurs jest wart inwestycji – sprawdź, czy prowadzący oferują darmowe próbki lub mają już udostępnione filmy na platformie Youtube.

Matematyka dyskretna – czym jest i do czego służy? Podsumowanie

Najlepiej, jeśli ucząc się matematyki dyskretnej, będziesz zmieniać sposoby pozyskiwania wiedzy wraz z postępami w jej zdobywaniu. Na początek warto zapoznać się z podstawami, które dostępne są za darmo – nie tylko przez oszczędność, ale też dlatego, że dzięki temu dasz sobie czas na naukę we własnym tempie. Wraz z przyjściem wiedzy warto zacząć inwestować w nowe rozwiązania, które pomogą w szybszym rozwijaniu się.

Dziś na rynku pracy bardzo ważne są umiejętności logicznego myślenia, a także wiedza z zakresu matematyki. Jeśli planujesz karierę w jednej w wymienionych dziedzin lub czujesz, że matematyka dyskretna może być Twoją nową pasją, nie wahaj się. To wspaniała dziedzina, która fascynuje wiele ścisłych umysłów na całym świecie!

Podział matematyki na dziedziny

Dziedziny matematyki	Opis
Algebra	Badanie struktur algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie i ciała
Analiza matematyczna	Badanie funkcji i ciągów liczbowych oraz pochodnych i całek
Geometria	Badanie figur geometrycznych w różnych wymiarach
Geometria analityczna	Badanie figur geometrycznych przy użyciu metod analitycznych
Topologia	Badanie własności przestrzeni topologicznych
Teoria liczb	Badanie własności liczb całkowitych i ich relacji
Teoria grafów	Badanie struktury grafów i sieci
Matematyka dyskretna	Badanie obiektów dyskretnych, takich jak zbiory i relacje